Espacio ampliado (primera parte) / Sudo Null IT News
Cuantos de espacio
Nuestro espacio está determinado por campos gravitacionales. En pocas palabras, los objetos materiales y/o enormes energías forman campos gravitacionales, el ámbito en el que viven las galaxias, las estrellas, los planetas y donde las leyes físicas de nuestro mundo comienzan a actuar. Tanto las galaxias como sus leyes se observan en tamaños macroscópicos, y para describirlas utilizamos las habituales métricas de Arquímedes. Los campos restantes “viven” de campos gravitacionales: electromagnéticos, débiles y fuertes, con toda su arquitectura. De hecho, “nuestro” mundo es un campo gravitacional, y toda la demás materia y otras interacciones son vibraciones de diferentes partes de este campo.
En el microcosmos, en escalas “planckianas”, el espacio comienza a manifestar su esencia cuántica. La idea de los cuantos espaciales se describe más completamente en la teoría de la gravedad cuántica de bucles (LQG), desarrollada con éxito por C. Rovelli and Co.0(1). Haciendo una analogía entre los campos electromagnético y gravitacional, escribe “…la diferencia clave entre los fotones (cuantos de campo electromagnético) y… cuantos de gravedad es que los fotones existen en el espacio, mientras que los cuantos de gravedad representan el espacio mismo. Los fotones se caracterizan por el lugar “donde se encuentran”. Los cuantos de espacio no tienen lugar donde puedan estar, ya que ellos mismos son un lugar.”
El propio Rovelli trata el cuanto del espacio con cautela; por ejemplo, cita un objeto difuso como un cuanto sin ningún detalle (izquierda, parte inferior de la Figura 1). En cambio, se introduce un análogo de las líneas de campo en forma de redes de espín con nodos en cuantos y al definir operadores cuánticos en el espacio de Hilbert a partir de áreas y volúmenes a través de variables de Ashtekar (2), se construye la geometría del espacio cuántico discreto y sus curvaturas gravitacionales. *.
La idea principal de C. Rovelli y Co.0 es simple y se reduce a dos cosas secuenciales, primero se introducen los cuantos de espacio, las redes de espín y la espuma de espín, luego en este nuevo formalismo, con la ayuda de variables especiales, se determinan las ecuaciones de Einstein y las ecuaciones de Schrödinger, con la esperanza que ahora la relatividad general y la física cuántica convivirán.
1. Discreción del espacio-tiempo, red de espín y espuma de espín: En la teoría de la gravedad cuántica de bucles, la geometría del espacio está cuantificada, por lo que operadores como el área y el volumen adquieren espectros discretos de valores en términos de variables de Ashtekar. Por ejemplo, 8 metros cuadradospag2 es el área mínima, y el volumen mínimo será:
La figura da una idea de la estructura cuántica del espacio, la red de espines y el espectro discreto de áreas y volúmenes. y sobre los números de espín j(1/2,3/2,5/2…) asociados con los bordes de la red de espín.
La red de espín (lado derecho de la figura) es un gráfico de nodos y aristas, donde las aristas están etiquetadas con números de espín correspondientes a representaciones del grupo SU(2), y los nodos están conectados por estas aristas y se caracterizan por volúmenes. v1 (tetraedro V1V2AB), V2(tetraedro V2V1C.A),….**. De hecho, la cuantificación del espacio en el PKG es una triangulación ordinaria, aunque en realidad las redes de espín describen los estados cuánticos de la geometría del espacio. Para hacer esto, se introduce el concepto de bucle: un contorno cerrado que cubre el área en consideración. El concepto de bucle es clave en esta teoría. A pesar de la simplicidad de la definición y la interpretación geométrica intuitiva, conlleva un contenido interno profundo y es la construcción principal. En este sentido, es similar a la cuerda de la teoría del mismo nombre, pero el bucle no requiere un fondo continuo, ni tampoco ningún fondo en forma de espacio de soporte. En PKG, los bucles que se adhieren entre sí forman el tejido del espacio y representan al mismo tiempo una base local.
Por eso, en PKG, los cuantos espaciales en sí mismos dejan de jugar un papel especial, toda la teoría comienza a centrarse en los bucles, en sus combinaciones, en la geometría y topología del espacio de bucles. Repitamos que los números de espín de una red de espines tienen un significado tanto geométrico como físico. Geométricamente, definen valores discretos de áreas y volúmenes en el espacio cuantificado. Físicamente, representan estados cuánticos de unidades elementales del espacio y desempeñan un papel clave en la descripción de interacciones e información cuánticas en la teoría cuántica de la gravedad. En la Figura 2, los anillos de la cota de malla se engranan, formando la tela de hierro de la cota de malla; también en el PKG, los bucles, que representan un camino cerrado de bordes sucesivos, se cruzan en los vértices de la red de hilado, formando la tela del espacio. Tanto en el primer como en el segundo caso, los matemáticos verán en ellos conjuntos de Baire. Esto significa que, a pesar de los trucos y lagunas, los bucles en sí no nos permitirán construir ni una medida, ni conjuntos compactos, ni integrales volumétricas y, por tanto, ninguna teoría significativa. Los fundadores de la teoría evitaron inteligentemente estas preguntas introduciendo áreas y volúmenes a través de productos directos de longitudes de Planck para formar dos y tres dimensiones:
yopag pag yopag = yopag2 (S) y yopag pag yopag pag yopag = yopag3 (V),
utilizando la métrica de Arquímedes, dejando así abiertas las cuestiones de su introducción y los problemas con las dimensiones. ¿Cómo se resuelven realmente estos problemas? En parte con la ayuda de espuma de espín, en parte con la ayuda de la densidad en las variables de Ashtekar, en parte con conceptos extraídos de las ecuaciones de Einstein y Schrödinger, pero hablaremos de esto más adelante**. Mientras tanto, todos los creadores de PKG, al introducir las redes de espín, “tienen” en cuenta las partes izquierda y central de la Figura 1. Entonces, el estado cuántico de una región-espacio se describe mediante un conjunto de bucles que la rodean, o simplemente una red de espín. Cuanto más densa sea la red de espín en una región, mayor será la curvatura del espacio que registrarán las variables de Ashtekar, al igual que en la teoría de Einstein.
Las espumas de espín son estructuras de 4 dimensiones que describen la evolución de las redes de espín tridimensionales a lo largo del tiempo. La espuma de espín conecta los estados inicial y final de las células de la red de espín a través de superficies bidimensionales, “formando” un sistema de símplex prisma-piramidal, y se utiliza para describir la dinámica del campo gravitacional cuántico (parte central de la Figura 3).
La espuma giratoria es un análogo del espacio-tiempo de 4 dimensiones en la teoría de Einstein. Habiendo aproximado el espacio usando una red de espín, en el PTC se implementa un análogo del intervalo espacio-temporal de la Relatividad General usando una espuma de espín, y las fluctuaciones cuánticas que oscilan la red cuántica se “asignan” como “responsables” de la evolución de nodos (parte inferior izquierda de la Fig. 3). Una cuestión importante en el concepto de spin foam es la cuestión del tiempo. Las primeras ecuaciones de la teoría, aún no completamente desarrollada, obtenidas por los fundadores Wheeler y Devitt sorprendieron a todos: no contenían una variable que indicara el tiempo; Pero las soluciones a estas ecuaciones resultaron ser nuestros bucles. Los bucles no quisieron dar origen a nada que valiera la pena durante mucho tiempo (los problemas con las dimensiones se discutieron anteriormente) hasta que se introdujeron aristas y vértices. El círculo se cerró, el tiempo se convirtió en un paria en teoría y trataron de echarlo por la puerta. Una de las publicaciones anteriores habló sobre cómo y con qué se reemplaza la hora, pero no nos detendremos en eso aquí. Solo notemos que Rovelli introdujo a regañadientes el tiempo cuántico en la espuma de espín, enmascarándolo con características probabilísticas: la aleatoriedad de las fluctuaciones y la suma de Feyman a lo largo de todos los caminos posibles entre el estado inicial y final de la red de espín, lo que finalmente condujo a la historia de las redes y paquetes de spin. La cuestión de la historia es la más dudosa de toda la teoría. Esto se debe al hecho de que las restricciones fundamentales que figuran en la tabla nos las sugiere la propia naturaleza y deben utilizarse como postulados principales de la teoría.
El tiempo, como vemos, no está incluido en esta tabla.
2. La gravedad cuántica de bucles, o teoría de bucles, combina la relatividad general con la mecánica cuántica y no introduce más hipótesis que las contenidas en estas propias teorías, escribiéndolas en una forma compatible con ella misma. Para ello, PKG utiliza variables especiales de Ashtekar: análogos cuánticos de los símbolos métricos y de Christophel-Schwartz en los tensores de Ricci, así como postulados cuánticos en forma de restricciones:
1. Las restricciones gaussianas surgen de simetrías del grupo de calibre interno (generalmente SU(2)) en la formulación tridimensional de la gravedad. Aseguran la invariancia local de la teoría bajo transformaciones de calibre, es decir, aseguran la conservación de las cargas de calibre internas. El significado de esta invariancia es que en los campos cuánticos es posible determinar los portadores de interacciones, es decir, los bosones: fotones, gluones, etc.
2. Las restricciones difeomorfas aseguran la invariancia de la teoría con respecto a las transformaciones espacio-temporales: traslaciones y rotaciones. El significado de esta invariancia es que las leyes físicas son las mismas en cualquier región de nuestro espacio.
3. La restricción hamiltoniana, escrita en términos de las variables cuantificadas de Ashtekar, contiene información sobre la materia, su interacción con la gravedad y, de hecho, es análoga a la ecuación de Einstein.
Tenga en cuenta que las restricciones cuánticas se transforman en restricciones clásicas en el límite de grandes números cuánticos, restaurando las ecuaciones de Einstein en el macrocosmos, y la geometría clásica se extrae a través de los valores propios de los operadores de área y volumen. ¿Cómo se logra la continuidad y la suavidad del espacio en grandes dimensiones? El propio PCG no se preocupa especialmente por estas cuestiones, pero lo explicaremos. Aquí es donde las fluctuaciones cuánticas acuden al rescate. Empaquetados en bolsas de espuma, una rápida secuencia de nacimientos y desapariciones de simples tetraédricos “barre” los volúmenes de la bolsa, que en grandes cantidades forma la representación de un espacio tridimensional monolítico continuo. Al igual que si colocas una moneda en su borde y la haces girar con un clic, nadie desde lejos podrá distinguir si se trata de una bola real o de un disco que gira rápidamente.
Las ventajas más importantes de la teoría de la gravedad cuántica de bucles en la actualidad son la eliminación de las singularidades que aparecen en las ecuaciones clásicas de Einstein en las regiones de Planck y la introducción de cuantos espaciales.
Como beneficio para los cuantos espaciales, intentaremos echar un nuevo vistazo al principio de Fermat y explicarlo utilizando redes de espín. El Principio de Fermat (o Principio del Mínimo Tiempo) es un principio fundamental en óptica y teoría ondulatoria que establece que la luz viaja entre dos puntos a lo largo de un camino que requiere la menor cantidad de tiempo (ha sido un misterio por qué la luz es tan inteligente). Esto significa que de todos los caminos posibles que puede tomar un haz de luz, elige el que proporciona el menor tiempo de recorrido.
Si n es el índice de refracción, c es la velocidad de la luz en el vacío, v es la velocidad de la luz en un medio determinado y d es la distancia, entonces el tiempo que tarda la luz en viajar entre los puntos A y B es mínimo:
donde n(s) es el índice de refracción a lo largo del camino.
El principio de Fermat, originalmente formulado para la luz, también se aplica al movimiento de partículas en la mecánica cuántica y clásica. Se generaliza al principio más amplio de mínima acción en física, que establece que el movimiento de cualquier partícula se produce a lo largo de una trayectoria que minimiza la acción, es decir, la integral lagrangiana en el tiempo. Este principio se aplica a todos los sistemas físicos y es fundamental para la descripción de la dinámica en la mecánica clásica, la mecánica cuántica y la relatividad.
En el último post describimos el movimiento de partículas utilizando la teoría de la Onda Piloto modificada. En pocas palabras, se ve así: una onda “corre” de un cuanto de espacio a otro en determinados momentos, transmitiéndoles datos codificados sobre la partícula desde su paquete de ondas.
Gracias a estos datos, la partícula nace en los cuantos del espacio y muere cuando la onda abandona estos cuantos.
El movimiento de la onda puede influir en la configuración de la red de espín, sometiéndola a una determinada transformación.
¿Qué transformaciones son posibles para que no destruyan la red de espín? El estudio de las propiedades de las clases de redes en términos de la incrustabilidad o no incrustación de ciertas redes finitas es una dirección clásica en la teoría de redes. Los conceptos mismos de integrabilidad y no integrabilidad de redes son importantes en la teoría del orden y las estructuras algebraicas. Ayudan a determinar qué estructuras se pueden integrar entre sí manteniendo ciertas propiedades y operaciones.
Un resultado clásico bien conocido es el teorema de Dedekind (3), según el cual una red es modular (parcialmente ordenada y obedece a la ley modular) si y sólo si no contiene una subred isomorfa a la red N5, ver Fig. 4.
Otro resultado en esta dirección viene dado por el teorema de Birkhoff (4), según el cual una red es distributiva (otra ley) si y sólo si no contiene subredes isomorfas a las redes N5 y M3, ver Fig. 1.
Logramos demostrar el teorema de que las redes de la Fig. 5 satisfacen los requisitos necesarios y pueden integrarse en un colector de soporte
Una propiedad sorprendente de estas redes es su extensión arbitrariamente larga, en contraste con las clases conocidas de redes modulares finitas.
Aplicando el teorema probado, se puede argumentar que las ondas piloto pueden transformar la red de espín según la Fig. 6, configurando los nodos de tal manera que, propagándose en un espacio plano, se imitará el movimiento de una partícula a lo largo de una línea recta. ser proporcionado.
Obviamente, en un espacio curvo, las geodésicas servirán como análogas a las líneas rectas, por lo que el teorema también funcionará en este caso. Así, el principio de Fermat, previamente aceptado como axioma, encuentra su explicación natural en el marco del espacio cuántico.
Concluyendo la consideración, observamos que algunas características en la construcción de la teoría de PKG, que dan importantes consecuencias, eludieron a los desarrolladores ***).
Literatura:
1. CARLO ROVELLI Y FRANCESCA VIDOTTO “Gravedad cuántica de bucle covariante”
2. A. Ashketar “Nuevas variables para la gravedad clásica y cuántica I” “Physical Review Letters” (volumen 57, número 18, páginas 2244-2247) 1986
3. R.Dedekind, Sobre el grupo dual generado por tres módulos, Math., 53, (1900),
4. G. Birkhoff, Sobre la estructura de álgebras abstractas, Proc. Filosofía de Cambridge. Soc., 31 (1935).
5 “Cómo funciona nuestro mundo” https://habr.com/ru/articles/774930/
*) Expliquemos la idea con la que se determina la curvatura del espacio cuántico discreto. Imagínese estar en el Polo Norte y caminar hacia el sur hasta llegar al ecuador. Al mismo tiempo, llevas contigo una flecha que apunta hacia adelante. Cuando llegues al ecuador, giras a la izquierda sin cambiar la dirección de la flecha. Todavía apunta al sur, que ahora queda a su derecha. Camine un poco hacia el este a lo largo del ecuador y luego gire hacia el norte, nuevamente sin cambiar la dirección de la flecha, que ahora apuntará hacia atrás.
Cuando regreses al Polo Norte, tu ruta se cerrará formando un bucle, pero la flecha ya no apuntará en la misma dirección que cuando empezaste (Fig. 3). El ángulo en el que gira la flecha al recorrer el bucle sirve como medida de la curvatura de un espacio determinado.
En la teoría PKG, sumamos todos los bucles en la región cuya curvatura queremos determinar, eligiendo una red de espín (Figura 1) que representa el estado cuántico de la geometría de esta región y su evolución a través de la espuma de espín, teniendo en cuenta cuenta las restricciones cuánticas. Entonces la curvatura finalmente se expresará a través de las derivadas de la conexión Ashtekar:
**)
Recientemente, la construcción de la gravedad cuántica de bucles se lleva a cabo como una transformación de las ecuaciones de Einstein y Schrödinger en variables de Ashtekar, por lo que las cuestiones con dimensiones se han vuelto irrelevantes.
***) El principio de Fermat ya comentado, así como las superficies mínimas de las películas en bucles, el método de los elementos finitos y las coordenadas baricéntricas para calcular los efectos de la gravedad en áreas pequeñas.
